منبع: مجله برهان ریاضی.

آرام در کنار آنها نشستم و با علامت دست خواهش کردم بحث خود را ادامه دهند. سه نفر بودند ؛ توکا ، کبوتر و آرش ... کبوتر با هيجان و اندکي خشم گفت: - هر چيزي را که نمي شود معنا کرد؛ "بالا" يعني بالا و "پايين" يعني پايين. بعد سرش را به طرف توکا برگرداند و گفت: - سرت را بالا بگير . توکا از روي صندلي بلندشد، ايستاد و سرش را به طرف آسمان گرفت. – حالا ، آرش ، تو سرت را پايين بگير. آرش بلند شد، کف دو دستش را روي زمين گذاشت و با حرکتي تند، تلاش کرد پاهايش را به طرف آسمان ببرد و روي دو دست خود بايستد ( مثل کساني که آکروبات مي کنند) ولي نتوانست و از سمت ديگر افتاد و پشتش محکم به زمين خورد. فريادي کشيد و گفت: - چه کار سختي ؟ من نمي توانم . ولي کبوتر خشمگين تر به او گفت: - چرا خودت را به سادگي مي زني؟ همان جور که روي دو پايت ايستاده اي ، مي تواني سرت را "بالا" بگيري؛ به طرف آسمان .( و ادامه داد) مي بينيد، "بالا" يعني به طرف آسمان و طرف ستارگان و "پايين" يعني به طرف زمين . اين را همه مي فهمند.

آرش زمزمه کرد: - ولي آسمان و ستارگان ، فقط "بالا" نيستند؛ حتي در "پايين" هم ، آسمان و ستاره است. پس به نظر تو "بالا" يعني جايي که مي تواند"پايين" يا "سمت راست" يا "سمت چپ" يا "روبه رو" و "پشت سرهم" باشد؟ توکا دخالت کرد: - "پايين" جايي است که همه چيز به طرف آن مي افتد. کبوتر پذيرفت . ولي توکا ادامه داد: - پس آن طور که خيال مي کنيم، نمي توان گفت :"بالا" يعني بالا و "پايين" يعني پايين . هر چيزي نياز به تعريف دارد. ولي آرش موضوع را پيچيده تر کرد: - اين درست! ما در ايران که در نيمکره شمالي هستيم، با آنها که از جمله در استراليا ، يعني نيمکره جنوبي هستند، در دو جهت مختلف ايستاده ايم ؛ "پايين" براي ما و براي آنها در دو جهت مخالف است. نمونه ديگري بياوريم که در گفت و گوهاي معمولي واژه هاي"بالا" و "پايين" معناهاي ديگري هم دارند:"بالاتر از چهار راه" ، "پايين تر از فلان خيابان".

اين جا ديگر "بالا" و "پايين" به آن مفهومي که گفتيم، معنا نمي دهند . در ضمن ، اگر به کسي نشاني منزل خود را اين طور بدهيد:"پايين تر از چهارراه A و بالاتر از مغازه B " ، در واقع او را سرگردان کرده ايد. چهار خيابان يا کوچه در چهار راه A به هم مي رسند؛ کدام طرف را بالا و کدام طرف را بالا و کدام طرف را پايين مي دانيد؟ ... به هر حال ، براي درک آن در نظر گرفت . توکا گفت: من حرف ديگري دارم. – وقتي در هواي سرد زمستان ، نفس خود را بيرون مي دهيد، بخار آبي که از دهان شما خارج مي شود، به طرف زمين نمي رود. وقتي کتري يا سماور مي جوشد، باز هم بخار آب در جهت عکس مي رود و به زمين نمي رسد. درست است که من گفتم :"پايين جايي است که همه چيز به طرف آن مي افتد"؛ ولي مگر بخار آب جزو "همه چيز " نيست؟ اين مشکل را چگونه حل کنيم؟ کبوتر مي انديشيد ... بعد سرش را بالا گرفت و گفت: - مشکل ديگري هم هست .

من در يک فيلم که به يک سفينه واقعي فضايي مربوط بود، ديدم چيزي به طرف کف فضا پيما نمي افتد، همه چيز در هوا معلق مي شود. نمي دانم در اين باره چه بگويم؟ در آن "بالا" کجاست و "پايين" کجا؟ آرش دخالت کرد: - آن نقطه "صفر" است، مرز پايين و بالا است. نه بالايي وجود دارد و نه پاييني . کبوتر و توکا هر دو اعتراض داشتند. –"صفر " يعني چه ؟ مگر "صفر" به معناي "هيچ" نيست؟ چيزي که "هيچ" است، يعني وجود ندارد. مگر مي شود داوري خود را بر پايه "چيزي" بگذاريم که وجود ندارد؟ - سکوت! هر سه نفر رو به من کردند. مي خواستند مشکل آنها را حل کنم . پرسيدم: - شماها به چه چيزي "واقعي"مي گوييد؟ از کجا بفهميم" چه چيزي وجود دارد و چه چيزي وجود ندارد"؟ کبوتر: - چيزي "وجود دارد" که قابل لمس باشد، بتوان آن را "حس کرد، "وجودي" مادي باشد يا بشود آن را "شنيد" يا "بوئيد". "صفر " نه قابل لمس است، نه قابل شنيدن و نه قابل بوييدن. – درباره مفهومهايي مثل "عشق" ، "دوستي" ، "کينه" ، "ريا" و ... چه مي گوييد؟ اينها "وجودهايي" مادي نيستند و با هيچ يک از "حسهاي" پنجگانه ما تشخيص داده نمي شوند؛ ولي "وجود" دارند. – سکوت! – به نظر من ، وجودي " واقعي" است که کنشي داشته باشد و بتوان اثر کار آن را ديد يا حس کرد. عشق و دوستي ، رفتار آدمي را تغيير مي دهد؛ نه تنها در اخلاق و رفتار شخصي فرد، بلکه در برخوردهاي اجتماعي او اثر و نتيجه عمل آن را مي بينيم .

آدمهايي هستند که چشم و گوش خود را به روي پيشامدها مي بندند، به خوب و بد ديگران کار ندارند، گرفتاريهاي مردم، فقر و رنج آنها و يا بعکس ظلم و غارتگري آنها، در او تاثير نمي کند ، او "بي طرف" است ، با هر کس روبه رو مي شود، به ميل و دلخواه او حرف مي زند، به چيزي و انديشه اي معتقد نيست، تنها مي خواهد اين چند روز زندگي را با "آرامش" و "بي دردسر" بگذراند و ... به چنين کساني "صفرهاي اجتماعي" مي گويند. ولي اين " صفرها" وجود دارند، مي توان آنها را لمس کرد، راه مي روند ، مي خورند، مي خوابند، روز و شب در انديشه جيب خود و " خور و خواب" خود هستند. مي دانيد چرا نام اين آدمها را "صفرهاي اجتماعي" گذاشته اند. در اين نامگذاري ، به يکي از ويژگيهاي عدد صفر نظر داشته اند. اگر "صفر" در سمت راست عددي قرار گيرد ، آن را ده برابر مي کند؛ اگر عدد مثبت باشد، آن را ده برابر مي کند و اگر جلوي عدد منفي هم قرار گيرد، باز آن را ده برابر مي کند. "صفرهاي اجتماعي" چون تنها به سود خود و به گذران عادي زندگي خود فکر مي کند، به طور معمول دنباله رو سود پرستان و قدرتمندان است، بنابراين ، به نيروي آنها مي افزايد؛ يعني نيروهاي منفي جامعه را تقويت مي کند. با اين نامگذاري مي خواهند بگويند:"بي طرفي" در عمل ، به معناي "طرفداري" از نيروهاي منفي جامعه است. مي بينيد، بسته به اين دارد که کجا از "صفر" استفاده کنيم، مي تواند ارزشهاي مختلفي داشته باشد.

به هر حال ، " صفر" مثل هر عدد ديگري ، ضمن عمل خود، در نتيجه کار اثر مي گذارد؛ پس وجود دارد. صفر، عددي است مثل هر عدد ديگر. مجموعه ها را مي شناسيد، معناي "مجموعه تهي" را هم مي دانيد. اگر مجموعه اي يک عضو داشته باشد و اين عضو برابر صفر باشد، مجموعه تهي با مجموعه اي که عضو آن برابر صفر است ، فرق دارد. نتيجه بگيريم وقتي از مفهوم صحبت مي کنيم، نبايد آن را سهل و ساده و همان طور که در حرفهاي روزانه به کار مي بريم ، بفهميم و بايد ببينيم در کجا از آن استفاده مي کنيم . بعضي مفهومها تنها نامگذاري است؛ مثل شکلي که به آن دايره مي گوييم . در اين جا يک تعريف درست ، براي شناسايي کافي است ( تعريف دايره). ولي بسياري از مفهومها ، معنايي نسبي دارند؛ مثل مفهوم "بالا" و "پايين" ، ولي عدد صفر هيچ تفاوتي با عددهاي ديگر ندارد و مثل هر عدد ديگري ، ويژگيهايي دارد که برخي از آنها مخصوص صفر است. براي نقشي که "تعريف" دارد، آزمايشي مي کنيم. از کبوتر و توکا خواستم رودرروي هم و به فاصله يک متر بايستند. جايي را که توکا ايستاده بود، مرکز فرض کردم و به شعاع برابر يک متر ، دايره اي دور او و روي زمين کشيدم. از کبوتر خواستم روي محيط اين دايره و رو به توکا حرکت کند تا به جاي اول خود برسد. از توکا خواستم همراه حرکت کبوتر، دور خود بچرخد؛ به نحوي که هميشه رودرروي کبوتر باشد.

وقتي کبوتر به جاي اول خود رسيد ، از او پرسيدم: - آيا توانستي يک دور ، دور توکا حرکت کني ؟ آيا توکا را دور زدي ؟ - بله ، يک دور کامل دور توکا چرخيدم . آرش موافق نبود: - تو به هيچ وجه دور توکا نچرخيدي. در همه حال ، صورت توکا را مي ديدي . چرخيدن دور يک چيز ، به معناي آن است که توکا را ديده اي و اين را نمي توان دور زدن توکا ناميد. – ولي من محيط يک دايره را به طور کامل پيموده ام. اين دور زدن است. من دخالت کردم: - هر دو درست مي گوييد و اين بسته به تعريفي است که براي دور زدن بپذيريم . با يک تعريف ، تو دور توکا چرخيده اي ، ولي با تعريفي که آرش از دور زدن دارد، دور او نچرخيده اي . ببينيد، با اين که امروز مي دانيم زمين به دور خورشيد مي چرخد ، در صحبتها و نوشته ها از حرکت ماه و خورشيد نام مي برند. همين حرکت ظاهري خورشيد و ماه و ستارگان هزاران سال موجب اشتباه دانشمندان شد و وقتي هم که در کمتر از پانصد سال پيش نظريه "خورشيد مرکزي" مطرح شد ، به خاطر آن ، نوشته "کپرنيک را ممنوع اعلام کردند، " گاليله " را به دادگاه کشاندند.

"جيوردانوبرونو" را کومه اي از آتش سوزاندند و ... به هر حال ، اگر زمين را مبنا بگيريم، خورشيد ، سياره ها و ستارگان حرکت مي کنند. حرکت ، مفهومي نسبي است. وقتي در اتومبيل به سرعت از کنار درختان عبور مي کنيد، مثل اين است که درختان به سمت عقب شما حرکت مي کنند؛ يعني اگر مبنا يا به اصطلاح رياضيدانان، مبدا را اتوميبل بگيريم، آن وقت مي گوييم درختان نسبت به اين مبدا در حرکت اند. تعريف و قرار داد، تکليف بسياري از مفهومها را روشن مي کنند. هميشه بايد بدانيم از چه چيزي صحبت مي کنيم ، چه تعريفي براي آن داريم و در ضمن ، از دانش خود ياري بخواهيم تا بتوانيم درست را از نادرست تشخيص دهيم. در دانش و از جمله در رياضيات ممکن است واژه اي که به کار مي بريم ، به معناي عادي و روزمره آن متفاوت باشد.

متن زير خلاصه مقاله پروفسور « سر مارتين ريس » يكي از پيشگامان كيهان شناسي در جهان است. وي استاد تحقيقات انجمن سلطنتي در دانشگاه كمبريج و داراي عنوان اخترشناس سلطنتي است. در عين حال وي عضو انجمن سلطنتي، آكادمي ملي علوم ايالات متحده و آكادمي علوم روسيه است. وي ضمن مشاركت با چندين همكار بين المللي ايده هاي بسيار مهمي در مورد سياهچاله ها، تشكيل كهكشان ها و اخترفيزيك انرژي بالا داشته است.
شش عدد بر كل جهان حاكم است كه از زمان انفجار بزرگ شكل گرفته اند. اگر هر كدام از اين اعداد با مقدار فعلي آن كمي فرق داشت، هيچ ستاره، سياره يا انساني در جهان وجود نداشت. قوانين رياضي عامل تحكيم ساختار جهان است. اين قاعده فقط شامل اتم ها نمي شود، بلكه كهكشان ها، ستاره ها و انسان ها را نيز در برمي گيرد. خواص اتم ها ـ از جمله اندازه و جرمشان، انواع مختلفي كه از آنها وجود دارد و نيروهايي كه آنها را به يكديگر متصل مي كند ـ عامل تعيين كننده ماهيت شيميايي جهاني است كه در آن به سر مي بريم. تعداد بسيار اتم ها به نيروها و ذرات داخل آنها بستگي دارد. اجرامي را كه اخترشناسان مورد بررسي قرار مي دهند ـ سيارات، ستارگان و كهكشان ها ـ توسط نيروي گرانش كنترل مي شوند. و همه اين موارد در جهان در حال گسترشي روي مي دهد كه خواصش در لحظه انفجار بزرگ اوليه در آن تثبيت شده است. علم با تشخيص نظم و الگوهاي موجود در طبيعت پيشرفت مي كند، بنابراين پديده هاي هر چه بيشتري را مي توان در دسته ها و قوانين عام گنجاند. نظريه پردازان در تلاشند اساس قوانين فيزيكي را در مجموعه هاي منظمي از روابط و چند عدد خلاصه كنند. هنوز هم تا پايان كار راه زيادي باقيمانده است، اما پيشرفت هاي به دست آمده نيز چشمگيرند.

آيا مناطقي وجود دارد كه نور آنها پس از گذشت ده ميليون سال يا از زمان انفجار بزرگ هنوز هم فرصت كافي نداشته است كه به ما برسد؟ متأسفانه در مورد اين مسئله جواب روشن و قاطعي وجود ندارد. با اين همه از لحاظ نظري هيچ محدوديتي در مورد گستره جهان ما (در فضا و نسبت به زمان هاي آينده) و در مورد اينكه چه چيزي ممكن است در آينده هاي دور به چشم ما برسد، وجود ندارد. در حقيقت جهان را مي توان بسيار گسترش داد. ميزان گسترش آن به چند ميليون سال دورتر از حوزه قابل رويت توسط ما محدود نمي شود بلكه مي توان آن را به ميزان ده به توان چند ميليون سال هم گسترش داد.
اما اين هم تمامي ماجرا نيست. ممكن است، جهان ما حتي اگر گسترش يافته و دورتر از افق ديد فعلي ما قرار گيرد، خود عضوي از يك مجموعه بزرگ تر و نامحدود باشد. مفهوم multivers در مقابل universe ، نتيجه توسعه طبيعي تئوري هاي كيهان شناسي موجود است. اين تئوري ها داراي اعتبارند، زيرا مي توانند پديده هايي را كه مشاهده مي كنيم تفسير كنند. قوانين فيزيكي و هندسه ممكن است در جهان هاي ديگر متفاوت باشد. چيزي كه جهان ما را از ساير جهان ها متمايز مي كند ممكن است همين شش عدد باشد........

منبع: مرکز ریاضیات.

آنچه كه تناقض آميز، باورنکردني يا خلاف انتظار (و شهود) ماست.(آنچه به نظر درست مي رسد ولي غلط است، به نظر غلط مي رسد ولي درست است، يا به نظر غلط مي رسد و واقعا? غلط است. )

فايده پارادوکسها
۱)ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش؛
۲)تعميق بينش؛
۳)تعميم شيوه هاي استدلال؛
۴)افزايش دقت؛
۵)وضع قوانين زبان شناختي جديد.

بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم!درمنطق پيراسازگار (paraconsistent) مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.

آشوب،یا آنچه در انگلیسی chaos خوانده می شود چیست؟

در مبحث واژگان این کلمه انسان را به یاد بی نظمی می اندازد.به یاد حالتی که هیچ چیز بر سر جای خود نباشد.اما آیا واقعا چنین است؟!!!

مطالعه در مورد این مبحث در حقیقت از مطالعات هواشناسی شروع شد.چندی از دانشمندان هواشناسی مشغول مطالعه در مورد شرایط جوی و تاثیر موارد مختلف بر هوای جهان و منطقه داشتند.آنان به مدت دو سال مشغول مطالعه هوای یک منطقه خاص  دارای آب و هوای نسبتا بی تغییر و کاملا معتدل بودند و تمامی تغییرات را ثبت می کردند.یک دستگاه ثبت نمودار تغییرات جوی هر روز راس ساعت شش صبح روشن می شد و نمودار تغییرات را تا شش بعد از ظهر ثبت می کرد.اما در پاییز سال دوم ناگهان نمودار این تغییرات به طرز عجیبی عوض شد.یعنی نموداری مغشوش به ثبت رسید که نشانه بروز تغییرات شدید جوی بود،اما آن چه به چشم دیده می شد هیچ تغییری مشاهده نمی کرد.دانشمندان شروع به مطالعه در این مورد کردند تا دلیل این تغییر را دریابند اما متوجه هیچ چیز نشدند.پس از پاییز همه چیز دوباره عادی شد.این امر آنان را بر آن داشت تا یک سال دیگر مطالعات خود را در آن محل ادامه دهند.در پاییز سال بعد آنها همه چیز را تحت نظر داشتند.در این سال نتیجه مشاهدات خود را پیدا کردند.در نزدیکی آن محل دریاچه ای بود که گروهی از پرندگان مهاجر در پاییز به آنجا می رفتند.آن چه باعث تغییر شدید در نمودار می شد همین پرندگان بودند.پرواز دسته جمعی این پرندگان باعث می شد تا حرکت بال های آنان فشاری بر جو بیاورد و این فشار به مولکول های کناری هوا منتقل می شد و نهایتا به سنسور ثبت نمودار دستگاه می رسید.یکی از دانشمندان کنجکاو در پی آن شد که متوجه شود اگر این پرندگان آنجا نبودند چه می شد.وی با استفاده از یک برنامه کامپیوتری موقعیت منطقه را شبیه سازی کرد و برنامه را یکبار با حضور پرندگان و یکبار بدون حضور آنان اجرا کرد.هنگامی که پرندگان وجود داشتند کامپیوتر شرایط را دقیقا همان طور که در واقعیت بود نشان داد.اما بدون حضور پرندگان طوفانی بزرگ در منطقه شکل می گرفت که باعث تخریب تقریبا 12 هکتار از آن منطقه می شد.در حقیقت پر زدن آن پرندگان باعث می شد که شرایط شکل گیری این طوفان پیش نیایند...

پس از مطالعات جدی تر و عمیق تر و شبیه سازی جو جهان آنان به نتیجه ای رسیدند که مهم ترین شعار نظریه آشوب نام گرفت: پروانه ای در آفریقا بال می زند و گردبادی در آمریکای جنوبی شکل می گیرد.

فشاری که بال زدن آن پروانه بر اتمسفر می آورد شاید بسیار ناچیز باشد، اما فرایند تشدید باعث می شود که این فشار ناچیز و اندک به مرور و پس از طی مسافتی تبدیل به یک طوفان عظیم شود.

در جای دیگری، گروهی از دانشمندان علم ژنتیک مشغول مطالعه بر نقشه ژنتیکی قورباغه ها بودند.آنان سعی داشتند تا نقشه ژنتیکی این موجودات را تهیه کنند و از آن در راه پیشرفت دانش ژنتیک استفاده کنند.برای جلوگیری از زاد و ولد قورباغه ها و کنترل وضعیت آزمایشگاهی آنان تصمیم گرفتند که تنها از قورباغه های نر استفاده کنند.پس از حدود یک سال مطالعه ناگهان چیزی غریب اتفاق افتاد.روزی آنان متوجه شدند که پنج قورباغه به تعداد قورباغه ها افزوده شده است!!!

پس از مطالعه آنان متوجه شدند که برای جلوگیری از انقراض نسل، در قورباغه ها جهشی ژنتیکی اتفاق افتاده است و این گروه از قورباغه ها شش ماه از سال را نر و شش ماه را ماده اند.در فاصله تغییر جنسیت آنان در بدنشان تولید مثل می کنند.و این امر باعث ایجاد شعار مهم دوم نظریه آشوب گشت: زندگی برای بقا راه خود را خواهد یافت.

این نظریه در ابتدا تنها یک نظریه بود.(hypothesis)اما مطالعات بعدی آن را به یک تئوری تبدیل کرد.مطالعات بیشتر آن را به حد علم نیز رساندند.به طوری که امروزه از آشوب در معماری و عمران نیزاستفاده می شود.چرا که یکی از اصولی که این علم بیان می کند این است که هیچ چیز قابل پیش بینی نیست.به دلیل این که حیات راه خود را خواهد یافت.حتی اگر با دقت بسیار زیاد شرایط را کنترل کنیم،به این دلیل که خود ما نیز جزئی از مساله هستیم،دچار اشتباه خواهیم شد.مثال زیر را در نظر بگیرید:

اگر ما به دنبال این باشیم که در این شکل یک نظم و یک معادله پیدا کنیم شاید هیچ گاه نتوان به فرمولی رسید.اما از آنجا که باید برای توضیح انحرافات خطی در این شکل الگویی قابل توضیح وجود داشته باشد با استفاده از هندسه غیر اقلیدسی به چندین فرمول می رسیم که بخش اعظمی از این شکل را توضیح می دهد، اما برای بقیه این شکل توضیحی نداریم. بنا براین دست به ایجاد شاخه ای جدید در ریاضیات و هندسه می زنیم تا بتوانیم آن را توضیح دهیم. همین مساله به عدم قطعیت ختم می شود.یعنی ایجاد شرایط جدید باعث ایجاد علوم جدید می شود که گاهی تمام علوم قدیمی را زیر و رو می کند.

حالا بیایید تا همان شکل را بطور کامل ببینیم:

مشاهده می کنیم که تمامی بی نظمی موجود در آن شکل منجر به نظمی بزرگ شد.یعنی ایجاد یک خط راست.اما به دلیل این که ما درون شکل قرار داشتیم نتوانستیم به نظم کلی آن پی ببریم و به اشتباه کشیده شدیم.عین همین مساله را می توان در جهان جستجو کرد.دنیای اطراف ما پر از روابطی است که ما قادر به فهم آنان نیستیم و برای توضیح و توجیه آنان دست به ایجاد علوم مختلف می کنیم.علومی که هیچ کدام قطعیت ندارند و به گفته علم آشوب قابل پیش بینی نیستند...